2021fall AMC10B作为美国数学竞赛(AMC)的重要环节之一,对参赛选手及准备参加该竞赛的人来说,了解其中典型问题及答案尤为重要。本文主要总结这场考试中的难点与解题思路,并给出详尽的参考答案,以帮助读者全面把握考试情况,为未来的复习与参赛做准备。在例题解析中,着重考察代数、几何、数论等经典数学问题,并采用图解、列举等直观手段,使之容易理解。这有助于系统掌握解题技巧,培养基础知识与应用能力。其中关键在于围绕higher_word展开训练,努力提高运算水平和逻辑思维能力。通过此次总结,希望大家能够加深对AMC竞赛的理解,为取得好成绩打下坚实基础。
2021fall AMC10B第10题的解题思路
这道代数题目针对二项式平方展开与因式分解两大知识点进行考察。解题时首先需要将给出的二项式(3x - 2y)^2 展开得到 9x^2 - 12xy + 4y^2。然后将其与选项进行对比,发现B项中给出的结果符合题目要求,即 3x^2 - 2xy + y^2 = (3x - 2y)^2。这需要运用到二项式平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 的知识。其次,在分解这个表达式时,还需要掌握因式分解的方法,将 9x^2 - 12xy + 4y^2 分解成 (3x - 2y)(3x - 2y)的形式,与原二项式吻合。因此,该题主要考察二项式平方展开与分解方面的知识,通过结合具体题目进行训练,可以加深这方面的理解。
2021fall AMC10B第12题的解题策略
这是一个数学归纳法的应用实例。根据题目,令fib(1) = fib(2) = 1。首先验证n=1和n=2时成立。然后假设对于n≤k时fib(n)的值都满足等式fib(n+2) = fib(n+1) + fib(n)。下面要证明当n=k+1时,也满足该性质。由于fib(k+1) = fib(k) + fib(k-1),将k替换为k+2,得fib(k+3) = fib(k+2) + fib(k+1)。这与前面假设部分fib(n+2) = fib(n+1) + fib(n)的形式是一致的,因此通过数学归纳法证明了对任意正整数n,fib(n)均满足该特性。由题目给出fib(9) = 21,则可得fib(11) = fib(10) + fib(9) = 34 + 21 = 55,故选C。这类数学归纳法证明的题目需要掌握其基本思路,通过逐步推导来完成证明过程。
2021fall AMC10B第19题的解题思路
这是一道三角形几何问题。根据题目,在直角三角形ABC中,AC = x, BC = x - 4, AB = x + 7。由于ABC是直角三角形,可以应用毕氏定理,即AC^2 + BC^2 = AB^2。将已知条件代入毕氏定理,可以得到方程:x^2 + (x - 4)^2 = (x + 7)^2。将其展开并整理可得:x^2 - 8x + 16 = 0,于是x = 4或x = 2。由于x表示的是直角边AC的长度,需要取正值x = 4。带入AC = x可知,直角边AC的长度为4,故选项A正确。这类三角形几何题目的关键是根据已知条件选择恰当的定理进行推导计算,本题即通过毕氏定理实现了从已知条件到未知量x的求解。图形表示也可以帮助理解三角形内各部分之间的关系。
2021fall AMC10B第22题的解决思路
这是一道考察排列组合的计数问题。根据题意,7个学生中的4个要排成一列。则所有可能的排列方式有C(7,4) = 7!/4!3! = 35种。再根据题目,其中Anna和Beth不能相邻。为了计算Anna和Beth不相邻的排列数,可以先固定Anna和Beth的位置,然后剩下2个位置由另外5个学生排列,这样的排列数为C(5,2)=10种。Anna可以在第一位也可以在第三位,Beth可以在第二位也可以在第四位,所以Anna和Beth不相邻的排列方式数为10 × 2 × 2 = 40种。于是,所求的概率为40/35 = 4/5,选B。这道题通过排列组合的方法计算Anna和Beth不相邻的具体排列数,再与总排列数比较获取所求概率,需要结合具体条件运用组合数原理。
2021fall AMC10B第24题的解答过程
这是一道等差数列求和的问题。设第一个数为a,公差为d。根据等差数列求和公式:S_n = n(2a + (n-1)d)/2。由题目给出的条件:S_5 = 100, S_{10} = 250可列出两个方程:5(2a + 4d) = 200 10(2a + 9d) = 500 解得:a = 20, d = 10。接下来计算S_7: S_7 = 7(2×20 + 6×10)/2 = 7×50 = 350,故答案为350,选C。解题的关键是根据已知的两个求和公式,列出等差数列两个未知数a和d的方程组进行解答,得到a和d后再代入S_7的公式计算所求的值。这类基础的等差数列求和问题需要熟练掌握公式的应用。
本文对2021fall AMC10B的部分典型题目进行了解答与解析,总结了解题的思路与技巧,并给出了详细的参考答案。这些题目涵盖了代数展开与分解、数学归纳法、三角形几何以及排列组合等知识点,通过具体题目的训练,可以帮助大家全面提高基础运算和逻辑思维能力,为参加AMC竞赛积累经验。希望这些内容可以帮助大家理解考试情况,并在今后的学习中有所启发。
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