最近在准备美国数学竞赛,发现有一道比较有意思的题目值得分享。这是一道利用等差数列求解的题目。首要问题是建立数学模型,将题目条件转化为数学表达式。解这类题的关键是理解数学公式中的变量含义,充分利用等差数列的特点,建立方程组进行消元解法。通过分析本题,我们可以加深对数学方法的理解,为将来的竞赛做好准备。
利用数列通项公式建立多个关系式
这道美国数学竞赛试题考察的是对等差数列性质的理解和运用。首先我们要明确,等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d。其中a1是首项,d是公差。根据题目给出的条件,我们可以建立:a1+a2=2×13,得到a+0.5d=13;另外给出a2k-1~a2k-4之和为4×169,代入通项公式可以得到a+(2k-3.5)d=169;同理还有a+(k-1)d=94这三个关系式。这是解题的第一步,只有正确写出关系式,才能进行后续的运算求解。
将关系式进行合并得到数列的首项和公差
在得到三个关系式之后,我们将它们进行合并。具体方法是,将第三个式子a+(k-1)d=94与第一个式子a+0.5d=13作差,可以消去a,得到(k-1.5)d=81;同理,用第二个式子a+(2k-3.5)d=169与第一个式子作差,可得(k-2.5)d=75;最后,继续作差去除d,解得d=6。代入第一个关系式,可求得首项a=10。至此我们求得了等差数列的首项和公差。这是典型的高中数学问题求解思路,即将相关方程组合并构建,进而使用消元法求解。这种理论联系实际的训练,对于运用数学知识解决实际问题是非常必要的。
代入公式求解所求项
通过前两步的计算,我们已经得到了该等差数列的首项a=10,公差d=6。最后一步就是需要代入等差数列通项公式an= a+(n-1)d进行计算。根据题目要求求2k-1项,带入公式中,可得2k-1项为:a+(2k-2)d=10+(2k-2)×6。再将k的值代入,因为k满足a+(k-1)d=94,解得k=15。最后代入2k-1中,可直接得到2k-1=2×15-1=29。至此我们通过建立和合并关系式,求得等差数列的参数,并最终通过代入公式求解到题目要求的项目,完成了这道数学竞赛题的全部解答过程。这种解题思路值得我们在今后的训练中不断应用和使用。
通过学习这道美国数学竞赛中等差数列的应用题,我们练习了建立数学模型的能力,加深了对数列性质的理解。这种利用代数方法建立方程组进行求解的思路,可以运用到许多竞赛题目中。坚持这种理论联系实际的训练,必将提高我们的解题能力和逻辑思维。
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