2019全国大学生数学建模竞赛已经落下帷幕,本文将针对该竞赛的题目进行全面解析,并给出参赛选手的思路指南。数学建模竞赛题目难度较大,需要参赛者在限定的时间内快速理解题意,进行合理的假设简化,建立数学模型,运用算法求解,并给出可解释的结果。要取得好成绩,必须对数学建模的系统方法有充分的理解,并在实践中不断磨练。以下内容将详细解析2019年竞赛的A题、B题、C题等,帮助广大竞赛选手打开数学建模的思路,提高解题能力。
A题针对连续颠球次数最大化,可建立能量最小化模型
A题的目标是使得连续颠球的次数尽可能多,这可以转换为两个子问题:实现单个循环和实现多个循环。要实现单个循环,关键是分析球的运动过程和相关受力,建立物理模型求出一次循环所需的能量。然后将人的做功过程与球的受力联系起来,建立微分方程或者积分方程描述两者的关系。为实现多个循环,可以将每个人的总体能量视为常量,然后最小化单个循环所需的能量,从而最大化循环次数。这与人的消耗能量和球的最小颠球能量构成约束关系,可以建立一个非线性单目标优化模型。这个模型体现了最大化颠球次数的策略,不需要进行数值求解。综上所述,A题的核心是通过能量最小化原理,建立约束优化模型,求解最大化连续颠球次数的策略,显示了对球的运动规律和系统优化方法的理解。
B题可建立差分方程描述队员发力误差对倾斜的影响
B题在A题连续颠球模型的基础上,考虑了队员发力存在误差,导致鼓面倾斜的实际情况。可以进行受力分析,建立鼓面运动与队员发力、初始倾斜角度之间的微分方程。然后采用差分方程的数值求解方法,描述发力误差对倾斜角度的影响,并给定参数求解出特定时刻的倾斜角度。这种建模思路表明,竞赛选手不仅需要掌握理想模型的推导,还必须考虑各种实际情况下的修正,才能拟合实际问题。此外,仿真求解中的步长选择也会影响结果,需要综合分析求解精度与计算量之间的权衡。
C题可在理想模型基础上,增加调整倾斜的策略模块
C题延续了A题中的理想模型和B题中的实际情况,要求调整策略应对鼓面倾斜。由于理想模型假设鼓面不倾斜,因此需要进行修正,添加处理倾斜球的模块。具体是先分析受力,建立模型调整倾斜球至竖直运动,然后套用A题中的策略进行颠球。这表明数学建模需要灵活应变,既要掌握理想模型的推导,又要能够根据实际情况进行修改。选手需要全面系统地运用所学知识,才能针对各种复杂问题进行建模与求解。
D题是C题策略的具体应用,需要精确控制各队员发力
D题给出了一个含有具体参数的实际问题,考察选手运用C题策略的能力。由于可精确控制发力,可以进行理想模型分析,求解每个队员的发力时机和力度。但实际操作时难以做到完全精确,所以还需要分析策略在实际情况下的效果。这需要考虑各种误差的影响,比如发力时间、力度的误差,来评估策略的可行性。这展示了数学建模的全过程:从理想模型分析,到引入各种实际因素,再到验证并评估模型的有效性。这需要很强的综合应用能力。
2019全国大学生数学建模竞赛题目难度较大,检查了参赛者在复杂条件下建立模型和求解的能力。本文对各题进行了细致解析,指出了建模的思路和方法。这有助于广大竞赛选手打开思路,掌握系统的建模技巧。此外,还需要大量的案例练习,才能提高数学建模的应用能力。希望本文能为广大竞赛选手提供一定的启发和帮助。
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