2022年AMC10A卷的难度水平与2021春季卷和2020年卷难度相当,属于中等偏上的范围。从整体看,20题以前的题目整体难度过度平缓,有个别题目难度较大;20题以后的部分计算难度不大,只要思路理清就能在短时间内算出。所以对冲5%的同学来说,需要放弃难题;而冲1%的同学,整体难度不算大。具体来看,今年AMC10在不定方程、函数最值和同余三个考点上出现了一定的变化,增加了应用性和难度;而其他考点如排组和基础几何则没有太大创新。
增设佩尔方程这种二元二次不定方程的特殊形式
2022年AMC10A卷在不定方程这一考点上,除了常规的不定方程知识之外,增加了二元二次不定方程中的一种特殊形式——佩尔(Pell)方程。佩尔方程是形如x2-ny2=1的二元二次齐次不定方程,n为非平方整数。这种不定方程比较特殊,通常需要用初等数论中的各种知识去求解,如连分数、二次剩余等。其解的存在性和算法都较为复杂。所以AMC10A卷增设这样一种不定方程题型,无疑增加了这部分知识的应用难度,对学生的数论基础与综合运用能力提出了更高要求。这对准备竞赛的学生是个难点和挑战。
函数最值问题的考察更加灵活多变
解决函数极值问题通常有以下几种方法:分析函数的单调区间,利用不等式判断,化为二次函数解法,引入特殊函数转换,换元法以及与图像结合等。以往AMC10中最值问题的考查更多停留在较为基础的几种解法。但是2022年AMC10A卷中的函数最值题目,考查方式更为灵活多变,增加了难度。比如引入了几何图形的辅助线方法,以及代数式推导极值的方法。这两种解法都需要学生具备较强的空间想象能力和抽象归纳能力,因此这部分试题难度增加,对学生们既考察了基础又考察了扩展。所以这类题目的准备,学生需要接触并熟练掌握函数极值问题的更多解法,才能应对考试的新题型与新思路。
同余考点偏向于与其他知识点的应用结合
这次AMC10A卷中的同余题目,没有仅仅停留在基本的七条定理规律以及常规题型上,而是与其他知识点相结合,考查同余知识的应用能力。比如与数列和方程相结合的同余题目,通过建立数列模型或方程关系,引入同余的 modular 概念,这样题目难度比单纯计数原理更高。从之前的基础推导转变为多知识点的综合运用,对准备竞赛的学生提出了更高的要求。这类题目的准备,需要学生在熟练掌握同余基础知识的基础上,还要联系其他章节知识点,比如数列、方程组等,练习不同知识间转换和结合的能力。只有做到知识点和解题思路的灵活多变,才能对付这类应用题。
排组和基础几何等常规考点没有太大创新
从AMC10A的整体情况来看,常见的考点如排列组合和基础几何(如相似),这次卷子没有太多创新,基本就是按照惯常的考查路径和思路出现。这类题目对学生的知识归纳整理与基础计算能力提出了要求,但没有太多新意。这是对大部分同学来说的好消息。解这类题目的基本思路,之前的模拟试题和历年真题都有代表,只要复习和练习到位,这部分分数不会太差。
20题以前难度平缓,个别题目难度较大
从AMC10A卷的整体情况和分数段性质来看,1-20题属于基础部分,这部分对分布尾部的多数同学有一定区分度。其中1-15题难度相对平缓,但偶有1-2道题目难度较大,这对冲刺高分的同学是一个难点。分这种情况下,同学们需要根据自己的水平,对难题适当放弃,保证基础题目的分数。16-20题难度稍大,但是对大部分同学来说,只要认真做题,这部分题目也有得分空间。所以这部分对大部分考生是机会大于挑战。只有想冲击头名的少部分学生,才需要关注其中的难题。
20题以后计算难度不大,思路清晰即可求解
AMC10A卷的后半部分,也就是21-25题,主要是针对高分段学生的。从历年情况和本次真题情况来看,这几道题目的计算难度不大,只要思路清晰,都是可以在较短时间内求解。所以对冲击头名的少部分学生来说,这些题目考查的不是计算能力,而是对知识点融会贯通的能力。只要同学们在前20题基础扎实的情况下,对后面非计算题保持清晰的题目理解与归纳能力,就可以取得高分。所以这部分对高分同学是利好。
2022年AMC10A卷从整体难度来看,与2021春季卷和2020年卷属于同一水准,即中等偏上。其中在不定方程、函数最值和同余三个考点上出现了一定的创新,增加了应用性和难度,这对冲刺高分是个挑战。而排组、基础几何等常规考点难度一般。需要注意的是20题以前个别题目难度较大,冲5%的同学需选择放弃;而20题之后只要思路清晰,计算难度不大,这对冲1%是好消息。
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